creatores.org

tvůrci, inovace, kreativita, inspirace, nápady, meetpoint, scrapbook


Partneři
(připravujeme)

powered by octopusengine
star

Stochastické chování deterministických systémů

Jednodušeji: CHAOS

Nadpis je nejspíš odrazující - a úvod je možná trochu zbytečně ukecaný (napsal jsem ho už v roce 1997), ale nechtělo se mi to krátit, tak když tak přeskočte - a vraťte se až v případě zájmu. 
Následný popis dynamických systémů jsem omezil na středoškolskou matematiku s drobným rozšířením pro zvídavější (iterační metody numerického řešení rovnic), a tak vás ušetřím Lorenzova "výzkumu" (kdy model proudění mezi dvěma deskami vede k soustavě parciálních diferenciálních rovnic) a zůstaneme hezky u obyčejné přímky a paraboly, případně u "komplexní" paraboly. Už oba tyto "systémy" totiž vykazují chaotické chování!

Nemá cenu si dělat svět složitější, než je, o to se rozhodně tímto článkem nesnažím - naopak, rád bych "zjednodušil". Ale mysleme na to, že těch opravdu jednoduchých věcí v přírodě moc není. Přírodní systémy jsou většinou nelineární, těsně vzájemně svázané - a v tom právě spočívá jejich rozmanitost a krása.


Úvod

Motto: Jestliže je věda čtením a luštěním přírody, primární zkoumání se musí týkat znamení, jichž příroda užívá, aby skryla či zjevila svůj půvab.

Dvacáté století - století velkolepých objevů, vynálezů umožňujících nové podrobnější bádání - zaznamenalo velký rozmach a uplatnění vědy. Praktické užití nachází i rozpracovaný matematický aparát. Fyzikové, chemici i biologové prohlížejí přírodu ze všech stran a vytrácí se názor z konce 19.století, že se už nic převratného nedá objevit.

Snad to byl právě rozvoj vědy, který do novověké společnosti vnesl i zvláštní krizi nejvíce patrnou v první polovině našeho století. Otázky o původu a smyslu života - objektivní pravdy o světě - patří asi mezi ty nejpodstatnější. Vznikl však pocit, že věda končí tam, kde začíná reálný svět - pravda, a tento pocit byl prvním příznakem vznikající krize. Nové poznatky převážně přírodních věd způsobily rozdvojení na dva světy. První, ve kterém žijeme, v němž se orientujeme, aniž bychom se museli snažit chápat jeho podstatu, a druhý - svět vědy, matematicky formulovaných zákonů a idealizovaných modelů. Názory, že náš svět je nedokonalý, protože je nepřesný, byly známkou pochybnosti o racionalitě samé. Svět, ve kterém žijeme, ztrácela věda z očí a stávala se jen jakousi "služkou techniky".

Vědci však nespali na vavřínech. Rozvíjí se kvantová mechanika, molekulární biologie, kybernetika … a výpočetní technika, která se stává stále používanějším nástrojem. Koncem šedesátých let to byly právě "moderní" počítače, které umožnily dát i poměrně složitým matematickým modelům názornou podobu. Výpočetní rychlost počítačů neustále vzrůstala, počítače byly menší, levnější a tím i přístupnější.

Ještě před několika lety bylo velice obtížné názorně ukázat určité vlastnosti matematicky popsaného systému. Mnohdy byl člověk odkázán jen na svou představivost a fantazii, některé problémy byly z časových důvodů neřešitelné. Výpočty, které by kdysi zabraly několik měsíců, ba i let úmorné práce, provede dnes počítač téměř okamžitě a na monitoru pak spatřujeme dříve pro mnohé nepředstavitelné. V počítačem simulovaných modelech se náhle začaly projevovat jevy, které známe z běžného života.

Meteorolog E.Lorenz pozoroval první podivný atraktor (bod, ke kterému je "něco" přitahováno), a pak se vynořila celá řada systémů, jejichž matematické modely mají chaotické chování. Vzniká nová matematická teorie - teorie chaosu - která, ač to zní paradoxně, postupně přináší do vědeckého světa i jistý pořádek. Spolu s Heisenbergovým principem neurčitosti změnila ryze deterministické pojetí světa a začíná se uplatňovat téměř ve všech oborech lidského zkoumání. Čas, kdy věda dospěje k odhalení nejelementárnějších zákonů a člověk přečte poslední přístupnou stránku z knihy poznání, je zatím v nedohlednu. Snad už ale víme, že to nejsou matematici, kteří mají na svědomí matematizaci přírody, ale že je to příroda sama, která se řídí i matematicky formulovatelnými zákony.


Dynamické systémy - názorná ukázka a souvislost s praxí

Dynamické systémy jsou matematické modely systémů měnících se v čase. Vhodnými modely lze simulovat průběhy celé řady dějů - nejen matematických, fyzikálních či chemických, ale i biologických, ekonomických … Časový průběh systémů bývá různý. Někdy se ustálí na jediné hodnotě, jindy se jich pravidelně střídá více, ale v poslední době nejatraktivnější případ je ten, kdy se hodnoty mění zcela "náhodně" - chaoticky. Hovoříme o systémech citlivých vůči počátečním podmínkám, kde každá i nepatrná změna počátečních podmínek vede po určitém časovém průběhu ke zcela odlišným hodnotám. Tento jev byl nazván paradoxně deterministický chaos.

Chaotické chování však nemusí vznikat jen ve složitých systémech, jaké známe v přírodě. Pro názornost postačí, zaměříme-li se na nejjednodušší nelineární systém - reálnou parabolu (s rovnicí x=Rx(1-x) ). Již v roce 1842 se zabýval tímto problémem nizozemský matematik Verhulst a došel k velice zajímavým výsledkům. Hledáním iteračního řešení rovnice x = Rx(1-x) pro určité parametry R nalezl hodnoty, které rovnici nesplňují, ale řešení k nim JE "přitahováno". Zajímavé vlastnosti této rovnice zkoumal i M. Fiegenbaum - jeho experimenty, které prováděl jen s pomocí kalkulačky, ho dovedly k zákonitostem později teoreticky potvrzeným. Matematik John von Neuman používal v roce 1942 ke generování náhodných čísel obdobný výraz: f(x) = 4x(1-x), tato funkce běžící nezávisle na ostatních programech po zavolání "náhodně vyhodila" číslo z intervalu (0,1).

Vyzkoušejte si jednoduchou rovnici (nebo posloupnost, chcete-li) která je dána rovnicí (předpisem):

f(xn+1)=4xn(1-xn)

zvolíme například výchozí (nultý) člen posloupnosti roven 0,1
x0 = 0,1

potom první člen:
x1 = 4 * x0 * (1-x0) = 4 * 0,1 * (1 - 0,1) = 0,36

dále pak
x2 = 4 * x1 * (1-x1) = 4 * 0,36 * (1 - 0,36) = 0,9216

x3 = 0,28901…

a dostáváme posloupnost "náhodných" čísel z intervalu 0 - 1
dnes (2014) se jim již říká pseudonáhodná.

 

Dynamický systém v praxi

Výše popsaný nelineární systém může být například zjednodušeným modelem růstu populace na omezeném teritoriu. Stav nové populace x je dán populačním přírůstkem Rx a výraz (1-x) vyjadřuje faktor přemnožení.
Zajímá-li nás časový vývoj tohoto systému, jde vlastně o řešení rovnice iterační metodou.

Dynamický systém reálné paraboly tvoří rovnice: x = Rx(1-x).
Její grafické znázornění je velice snadné.
Hledáme průsečík modré přímky y=x a zelené paraboly y=Rx(1-x), jejíž vrchol má souřadnice (1/2, R/4).
Viz. obrázky 1 až 4.

Přepis pro její iterační řešení je dán zobrazením:
f(x) = Rx(1-x) nebo Xn+1 =  f(Xn) = Rxn(1-xn),
ze kterého získáme posloupnost xo, f(xo), f(f)xo)),…
Každý nový člen posloupnosti počítáme z předchozího členu dosazením do f(x), kde je zobrazení (funkce) dané parabolou a xo je počáteční "odhad" nebo nastavení - první hodnota.
(Schodovité průběhy na obrázcích 1-4)

Pro iteraci musíme zvolit počáteční odhad - například xo=0,1. Je-li parametr  R = 1, řešení konverguje k nule. Tímto triviálním případem se nebudeme zabývat.
Populace s takto malým přírůstkem by po určitém čase vyhynula. 

 

 




Obr.1 (R = 1,9)


Na obrázku 1 je systém (pro R= 1.9) ve stavu, kdy po několika krocích (schodovitý průběh, spojující body (xo, O), (xo, f(xo)), (f(xo), f(xo)),… dospěje k jedinému bodu - řešení xe (červený bod na obr.1).
Jedná se o stav, pro který platí f(xe)=xe, tzv. pevný bod zobrazení.


Obr.2 (R = 3.3)


Při zvětšení parametru na R=3.3 (obr.2) se místo netriviálního řešení objeví atraktor. Tento atraktor už není řešením, ale soustava je k němu "přitahována".
Populace s tímto parametrem bude oscilovat mezi dvěma stavy - například: první rok se přemnoží a další rok, z důvodu nedostatku potravy, se její stav sníží.
Na obrázku je cyklus délky zobrazen červeným obdélníkem. Je to názorný příklad bifurkace - rozdvojení délky cyklu - nejzákladnějšího kamene cesty k chaotickému chování.
Při dalším zvětšení parametru došlo k další bifurkaci (obr.3), atraktor tentokrát tvoří červený čtyřcykl…


Obr.3 (R=3,5)

 


Obr.4 (R=4)

Pro parametr R=4 (obr.4) vzniká chaotický atraktor.
O populaci s touto hodnotou parametru nemůžeme ze znalosti počátečního stavu předvídat další vývoj.
Systém je v této oblasti neuvěřitelně citlivý na počáteční podmínky - odtud název systém citlivý vůči počátečním podmínkám, a jeho řešení vede mnohdy na chaotické atraktory.

Jiné zajímavé vlastnosti popsal M. Feigenbaum. Zjistil, že pro R=3,5699456 má systém nekonečný atraktor, podobný nekonečnému cyklu.
Body tvořící hranici přitažlivosti atraktoru jsou fraktální množinou (podobnou cantorovu diskontinuu). Ale to je už matematické hraní i nad možnosti chápání mnohých současných matematiků. 




Na tomto obrázku je bifurkační diagram zobrazující závislost atraktorů na daném parametru. Pro přehlednost není prvních sto iterací bráno v úvahu, vidět je až další "ustálená" část. Zřetelné je postupné rozdvojování, které vede k chaotickému průběhu. Ani v oblasti chaosu není dynamika systému nijak jednotvárná. Střídají se části chaosu s pravidelnými cykly - někdy dokonce cykly liché délky.

 

Vykazuje-li poměrně jednoduchý systém tolik rozmanitých možností vývoje, jak je to potom se složitými systémy nebo dokonce s jejich soustavami?

Teoretický biolog R.M.May ocenil význam příkladu reálné paraboly:

"Už v ranném stádiu matematického vzdělání by se studenti měli seznámit s touto rovnicí. Nejen ve vědě, ale i v každodenním světě ekonomiky a politiky by bylo lepší, kdyby více lidí vědělo, že jednoduché nelineární systémy nemusejí mít nutně jednoduché chování".

 


Tajemné množiny a složité chování jednoduchých systémů

Přidáním dalšího rozměru se můžeme pomocí počítače dostat do tajemné krajiny Mandelbrodtovy množiny, což je zajímavý příklad tentokrát komplexní paraboly tvaru

f(z)=z2+c

kde f(z) je posloupnost komplexních čísel. Tato opravdu "krásná" fraktální množina je velice populární - barevné pohledy do jejího nitra jsou velice působivé.






Jednoduchými výpočty pomocí počítače zjišťujeme, jak se chová komplexní číslo (charakterizované dvojicí čísel komplexní roviny).
Projíždíme jeden bod roviny po druhém a body řadíme do skupin (odlišených barvou) podle toho, jak dlouho setrvávají v jisté oblasti. Nacházíme body ustálené, stabilní, méně stabilní nebo-li bloudivé. 

Přiřadíme-li bodům stabilním určitou barvu, bodům méně stabilním barvy jiné podle míry nestability, dostáváme v rovině body s různými barvami. 

 

Tato množina je velice zvláštní, ponoříme-li se hlouběji do jejího nitra (zvolíme konkrétní malý interval zobrazení) nacházíme různé "fraktální stromy", spirály, a můžeme opět narazit na výchozí tvar "jablka" v různých modifikacích. 





 

 





 






 












Autor:
Ing. Jan Čopák - pro Vědu techniku mládeže v roce 1997, pro CD MATEMATIKA v roce 2001, a pro server cereatores.org v roce 2014


Následná diskuse je obecně k serveru creatores.org, ale může se odvíjet libovolným směrem.





Přihlášení
uživatel:

heslo:



  nebo

zapomenuté heslo?
help Nápověda
rules Pravidla skupiny

Náhodně vybraný citát cit
Lepší blázen s nápadama, nežli chytrák bez fantazie...
neznámý

Anketa stat
Zajímá mě hlavně
umění
bar
1619
věda a technika
bar
1350
obojí (všechno)
bar
1379
počet hlasů: 4348


Kalendář akcí a událostí
předchozí  Květen 2019  následující
Po Út St Čt So Ne
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31

arw Zobrazit akce pro 2019-05



right info
star 0 | action: nic | sel: chaos || uid: 0 | lng: cz | (c) yenda.net 2002-2012